3-4- معادلات درستنمایی اصلاح شده و برآوردیابهای MML…………………………. 31

3-5- آزمون فرض……………………………………………………………………… 35

3-6- برآوردیاب های MML در طرح عاملی 2³……………………………………….. 38

3-7-تعمیم…………………………………………………………………………….. 43

فصل چهارم : تحلیل كواریانس با خطای تصادفی لجستیك تعمیم یافته…………………. 46

4-1- مقدمه……………………………………………………………………………. 46

4-2- معادلات درستنمایی……………………………………………………………… 46

4-3- خطی کردن معادلات درستنمایی با استفاده از بسط سری تیلور………………….. 51

4-4- برآوردیاب های MML………………………………………………………….. 53

4-5- آزمون فرض……………………………………………………………………… 55

4-5-1- آزمون تئوری نرمال……………………………………………………………. 55

فصل پنجم : مثال های عددی………………………………………………………….. 55

5-1- مقدمه……………………………………………………………………………. 67

5-2- شبیه سازی فصل سوم…………………………………………………………… 67

5-3- شبیه سازی فصل چهارم…………………………………………………………. 70

5-5- مثال عددی 2……………………………………………………………………. 72

6-5 محاسبه احتمال خطای نوع اول و توان در آزمون F معمولی……………………… 73

پیوست 1………………………………………………………………………………. 76

واژه نامه فارسی به انگلیسی…………………………………………………………….. 82

واژه نامه انگلیسی به فارسی…………………………………………………………….. 90

منابع :………………………………………………………………………………….. 97

مقدمه

در مدل های آنالیز واریانس ، آزمون های معنادار بودن بر اساس فرض خطای نرمال انجام می شوند . در عمل ممکن است با رسم نمودار باقی مانده ها متوجه شویم که فرض خطای نرمال نادرست می باشد ، در این صورت به کار بردن روش های سنتی سبب کاهش کارایی در آزمون و برآوردیابی می شود .

در این پایان نامه طرح عاملی^k2 با خطای تصادفی وایبل و همچنین مدل های تحلیل كواریانس را زمانی كه متغیر مستقل و خطای تصادفی هر دو دارای توزیع غیر نرمال باشند بررسی می كنیم ، برای این منظور از برآوردهای ماکزیمم درستنمایی اصلاح شده ) MML ( استفاده می کنیم که در مقایسه با راه حل های ارائه شده تحت فرض نرمال بودن خطا توان بالاتری دارند و نسبت به فرضیات مدل نیرومند ( Robust ) هستند . این پایان نامه در 5 فصل ارائه می شود که موضوع هر کدام در زیر آورده شده است .

فصل اول : تعاریف و مفاهیم مقدماتی

در این فصل مفاهیم مورد نیاز در پایان نامه بیان می شود .مفاهیمی از قبیل: طرح های عاملی ، تحلیل كواریانس ، توزیع وایبل و خواص آن ، توزیع لجستیك تعمیم یافته ، مقابله ها و روش درستنمایی ماكزیمم و …

فصل دوم : روش درستنمایی ماكزیمم اصلاح شده

زمانی كه خطای تصادفی در یك مدل آماری غیر نرمال باشد ( برای مثال دارای توزیع لجستیك یا وایبل باشد ) برای یافتن برآوردهای درستنمایی ماکزیمم با معادلاتی روبرو هستیم که حل آن ها بدون استفاده از روش های عددی امکان پذیر نیست ، در این صورت می توانیم از روش درستنمایی ماكزیمم اصلاح شده استفاده كنیم . در این فصل روش درستنمایی ماكزیمم اصلاح شده ( MML ) با ذكر مثال معرفی و ویژگی های آن با روش معمولی درستنمایی ماكزیمم ( ML ) مقایسه می شود .

فصل سوم : طرح عاملی 2^kبا خطای تصادفی وایبل

در این فصل با استفاده از روش MML برآورد پارامترها را در یك طرح عاملی^k2 با خطای تصادفی وایبل به دست می آوریم و سپس بر اساس برآوردهای بدست آمده آزمون فرض های مرتبط با اثرهای اصلی و متقابل را بررسی می كنیم .

فصل چهارم : تحلیل كواریانس با خطای تصادفی لجستیك تعمیم یافته

در این فصل مدل های تحلیل كواریانس را زمانی كه متغیر مستقل و خطای تصادفی هر دو دارای توزیع غیر نرمال باشند بررسی می كنیم . برای این منظور ابتدا از روش MML برآورد پارامترهای مدل را به دست می آوریم آن گاه آماره هایی را برای آزمون فرض های مرتبط با مقابله های خطی معرفی می كنیم .

فصل پنجم : مثال های عددی

در این فصل كاربرد روش های ذكر شده در فصل های قبل را با ذكر مثال های عددی نشان می دهیم .

فصل اول

1-1- مقدمه

در این فصل مفاهیم مورد نیاز در پایان نامه بیان می شوند . مفاهیمی از قبیل : طرح های عاملی ، مقابله ها ، تحلیل كواریانس ، توزیع وایبل و خواص آن ، توزیع لجستیك تعمیم یافته و روش درستنمایی ماكزیمم .

1-2- طرح های عاملی

طرح های عاملی که توسط فیشر ( 1935) و یتس (1937) معرفی شدند اغلب بهترین و پر استفاده ترین طرح ها برای انجام آزمایش در کاربردهای صنعتی هستند . در این گونه طرح ها اثرهای عوامل چندگانه بر خروجی به صورت همزمان مورد بررسی قرار می گیرند . این طرح ها کارایی بیشتری نسبت به روش قدیمی هر بار یک عامل دارند . همچنین طرح های عاملی توانایی تشخیص و برآورد اثرهای متقابل بین عوامل را فراهم می کنند در حالی که روش هر بار یک عامل این قابلیت را ندارد . در روش هر بار یک عامل ، یک سطح پایه برای هر عامل در نظر گرفته می شود . سپس در هر مرحله سطح یکی از عوامل را تغییر می دهیم در حالی که بقیه عوامل در سطح ثابتی قرار دارند . برای مثال فرض کنید تاثیر دما و ماده اولیه را بر خروجی یک آزمایش شیمیایی بررسی می کنیم .

سطح پایه برای دما و ماده اولیه به ترتیب دمای متوسط و ماده اولیه ب می باشند . آن گاه مشاهدات فقط از تیمارهایی که با * مشخص شده اند ، به دست می آیند . در این حالت بررسی اثر متقابل امکان پذیر نمی باشد .

جدول یک – روش هر بار یک عامل

یکی از رایج ترین طرح های عاملی طرح عاملی^k2 است که در آنkتعداد عامل ها و هر عامل دارای دو سطح می باشد .هدف اصلی از این طرح تعیین موثرترین عامل است و در حقیقت این یک آزمایش اکتشافی است که روند بررسی عوامل را برای ما روشن می سازد .

در منابع دوره کارشناسی آمار معمولا طرح های عاملی بر اساس فرض نرمال بودن خطا پایه ریزی شده اند اما در عمل توزیع های غیر نرمال متداول ترند

1-2-1- طرح عاملی 2²

فرض كنید عواملAوBهر كدام دارای دو سطح می باشند ، مدل آنالیز واریانس را به صورت زیر در نظر می گیریم :

( 1-2-1 )

كه در آنµمیانگین كلی، اثرiامین سطح عاملA، اثرjامین سطح عاملB، اثر متقابل و خطای تصادفی می باشد .

1-2-2- مقابله ها

چهار ترکیب تیماری را با نماد (1)،a،b،abنشان می دهیم . (1) نشان دهنده سطح پایین هر دو عامل(i=1 , j=1)،aنشان دهنده عاملAدر سطح بالا(i=2, j=1)،bنشان دهنده عاملBدرسطح بالا (i=1 , j=2)وabنشان دهنده سطح بالای هر دو عامل(i=2 , j=2) می باشد . در طرح عاملی 2²به بررسی اثرهای اصلیAوBو اثرمتقابل دوعاملیABعلاقه مند هستیم . اثر اصلی عاملAوBرا با تفاوت میانگین مشاهدات در سطح بالا و در سطح پایین اندازه گیری می كنیم :

اگر میزان تاثیر عاملAبر خروجی ، به سطح به کار رفته از عامل Bبستگی داشته باشد ، بنا به تعریف اثر متقابل وجود دارد . میزان اثر متقابلAوBرا بر متغیر پاسخ به صورت زیر اندازه گیری می کنیم :

با توجه به عبارت مربوط به اثرA، ضرایب تمام ترکیب های تیماری که در آنAدر سطح بالاست (+a , +ab) ، 1+ و ضرایب تمام ترکیب های تیماری که در آنAدر سطح پایین است یعنی ( (1)b, ) ، 1- است و همچنین یک مقابله است ( مجموع ضرایب آن برابر صفر است (0=1+1- 1+ 1- ) ) . مقابله هایA،BوABرا به این صورت تعریف می کنیم :

ضرایب مقابله ها برای طرح عاملی 2²در جدول زیر داده شده است .