1.3 مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 37

2.3.مدل رگرسیون خطی با داده­های سانسور شده با وجود خطا در متغیرهای مستقل…………………………… 40

1.2.3 اصلاح روش حداقل مربعات……………………………………………………………………………………………………………….. 41

2.2.3 روش درستنمایی تجربی وساخت فاصله اطمینان…………………………………………………………………………….. 45

4.3 اثبات قضایا……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 50

فصل چهارم :مطالعات شبیه سازی

1.4 حالت یک بعدی………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6

پیوست

برآوردگر کاپلان مایر با وجود داده­های سانسور شده……………………………………………………………………………………… 66

نسبت لگاریتم درستنمایی تجربی…………………………………………………………………………………………………………………… 67

معرفی نمادهای ­و ……………………………………………………………………………………………………………….. 70

واژه­ نامه

واژه نامه انگلیسی­-فارسی………………………………………………………………………………………………………………………………… 72

وژه نامه فارسی-انگلیسی…………………………………………………………………………………………………………………………………. 77

مراجع…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 82

فهرست جداول

عنوان صفحه

جدول شماره 2.1:مجموع مربعات باقیمانده……………………………………………………………………………………………………. 31

جدول شماره 2.2:مجموع مربعات باقیمانده…………………………………………………………………………………………………… 34

جدول شماره 3.2:ضرائب برآورد شده (برای مدل کامل)………………………………………………………………………………. 35

جدول شماره 1.3:متوسط طول و احتمالات پوشش فواصل اطمینان روش NA برای ……………………………. 62

جدول شماره 1.3:متوسط طول و احتمالات پوشش فواصل اطمینان روش AEL برای …………………………. 63

فهرست شکل­ها

عنوان صفحه

شکل شماره 1.2:نمودار باقیمانده ها برای داده های پیوند قلب استانفورد، برازش درجه دوم………………………. 20

شکل شماره 2.2:نمودار باقیمانده ها برای داده های پیوند قلب استانفورد، برازش خطی…………………………….. 21

فصل اول:

مقدمات

در این فصل تعاریف و مقدمات اولیه برای مدل­های خطی، مدل­های خطی با خطای اندازه­گیری، برآوردگرهای استوار به­ویژه برآورد M، آنالیز بقا، برآوردگر کاپلان مایر، داده­های سانسورشده و انواع سانسور ارائه می­شود.

1-1- مدل خطی

یکی از کاربردی­ترین­­ روش­ها برای تحلیل داده­ها در بین ابزارهای آماری، تحلیل رگرسیونی است. تحلیل رگرسیونی،روشی کارآمد برای بررسی و مدل­سازی ارتباط بین متغیرها است که از این مدل های رگرسیونی در توصیف داده­ها، برآورد پارامترهای مجهول، پیش­گویی و کنترل استفاده می شود.

در بیشتر موارد، پاسخ یک آزمایش به چندین متغیر مستقل مثلا k متغیر مستقل، وابسته است. در این صورت یک مدل خطی رابطه­ای به صورت زیر را در نظر می­گیرد:

که n اندازه نمونه می­باشد. متغیرهای را متغیرهای توضیحی و متغیر تصادفی قابل مشاهده y را متغیر پاسخ می­نامند.

متغیر تصادفی غیرقابل مشاهده متغیر خطا تلقی می­شود، بدین معنی که به عنوان متغیری تصادفی، انداره ناتوانی مدل در برازش دقیق داده­ها را اندازه­گیری می­کند. این خطا ممکن است به دلیل عدم حضور برخی از متغیر­های مؤثر، خطاها­ی تصافی مربوط به مشاهدات و اندازه­گیری­ها و غیره صورت پذیرد.

همچنین فرض می­شود که خطا­ها دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس نامعلوم و ناهمبسته باشند.

پارامترها­ی و مجهول هستند و باید با استفاده از داده­ها برآورد شوند. فرض می­­شودداده­ها عبارتند از که در آن پاسخ متناظر با k سطح از متغیرها­ی مستقل است. یعنی بنابر معادله (1.1.1) می­توان نوشت:

آن­گاه هدف ما به دست آوردن برآوردها­ی برای به ترتیب به نام­های و در نتیجه به دست آوردن رابطه زیر است.

که در آن نشان دهنده مقدار برآورد شده y به ازای مقادیر است. در این صورت معادله (3.1.1) به عنوان معادله پیش بینی کننده می­تواند مورد استفاده قرار گیرد.

معمول­ترین روش در برآورد پارامترهای یک مدل خطی، استفاده از روش “کمترین مربعات معمول (OLS)” است که روشی بسیار سودمند و کارا است.

پایه و اساس روش کمترین مربعات به Gaussو Legendreباز می­گردد. این روش (و تعمیم­های آن ) به دلیل راحتی محاسبات و جواب­های بسته مبتنی برآن مورد توجه بسیاری از آماردانان است.

برآوردهای را به گونه­ای برمی­گزینیم که مجموع توان دوم انحراف­ها را کمینه کند، یعنی آن­ها را به ­گونه­ای به ­دست می­آوریم که در معادله زیر هنگامی که به ترتیب جایگزین می­شوند، کمترین مقدار ممکن را تولید کنند.

برآوردهای با مشتق گرفتن از معادله (4.1.1) نسبت به و مساوی صفر قرار دادن آن­ها به دست می­آیند. ملاحظه می­شود که برای حل این معادله ها­ی نرمال بهتر است که از روش ماتریسی استفاده شود. می توان رابطه (1.1.1) را به فرم ماتریسی زیرر در نظر گرفت.

بطوری­که .

فرم ماتریسی را می­توان بصورت زیر نوشت.

این مدل را یک مدل خطی گویند، زیرا نسبت به پارامترها­ی مدل، خطی است.

در این مدل خطی Yیک ماتریس ، X یک ماتریس ، یک ماتریس و یک ماتریس هستند.

آن­گاه می­توان معادله­ها­ی نرمال را به صورت زیر نوشت:

زیرا

چون یک ماتریس است در نتیجه با ترانهاده خود برابر است پس:

و خواهیم داشت:

با مشتق گرفتن از رابطه (7.1.1) نسبت به بردار و جایگزین کردن به جای و مساوی صفر قرار دادن آن، معادله­های نرمال (6.1.1) به دست می­آیند.

ماتریس­های و عبارتند از:

با فرض معکوس­پذیر بودن ماتریس داریم:

که در این صورت معادله پیش بینی کننده عبارت است از:

که در آن داریم:

اما زمانی که داده پرت داشته باشیم روش کمترین مربعات معمولی جوابگو نیست، به همین دلیل به معرفی برآوردگرهای استوار می پردازیم.