1.2.8 فضای ………………………………….………………… 12

1.2.9 محمل تابع ……………………………….…………………… 12

1.2.10 عملگر های انتقال و اتساع یک تابع ………………………………… 12

2 معرفی موجک ها و توابع بلاک–پالس

1.2 موجک ….………………………………………….…………… 14

1.1.2 مقدمه وتاریخچه ……………………………………………… 14

2.1.2 معرفی پایه های موجک ………………………………………… 15

3.1.2 آنالیز تجزیه چند گانه ………………..………………… 16

4.1.2 موجک ها …………………………………………………… 20

5.1.2 رابطه دو مقیاسی ……………………………………………… 22

6.1.5 تقریب وپایداری پایه موجکی متعامد یکه ……………………….… 28

7.1.2 خواص مطلوب موجک ها ……………………………………… 28

2.2 موجک چبیشف نوع دوم …………..………..……………… 30

1.2.2 چند جمله ای های چبیشف نوع اول ……………………………… 30

2.2.2 چند جمله ای های چبیشف نوع دوم …………………….………… 31

3.2.2 موجک چبیشف نوع دوم ………………………..……………… 32

4.2.2 همگرایی در پایه های موجک چبیشف نوع دوم ……………………… 36

3.2 توابع بلاک – پالس ……………………..………….……… 38

1.3.2 مقدمه …………………………………….………………… 38

2.3.2 تعریف توابع بلاک – پالس ……………………………………… 38

3.3.2 ویژگی های توابع بلاک – پالس ……………………………….… 40

3 دیفرانسیل وانتگرال از مرتبه کسری

1.3 مقدمه…………………………………………………………… 44

2.3 تابع گاما……………………………………………..…………… 45

1.2.3 تعریف تابع گاما ……………………………………………… 45

2.2.3 فاکتوریل مقادیر کسری ………………………………………… 46

3.3 انتگرال گیری از مرتبه کسری………………..………….…………… 46

1.3.3 تعریف عملگر انتگرال ………………………….……………… 46

2.3.3 انتگرال از مرتبه طبیعی ………………….……………………… 47

3.3.3 انتگرال از مرتبه کسری ………………………………………… 47

4.3 مشتق از مرتبه کسری ……………………..………………………… 48

1.4.3 قضیه اساسی حساب دیفرانسیل …………………..……………… 48

2.4.3 عملگر مشتق ………………………………………………… 49

3.4.3 مشتق مرتبه کسری …………………………….……………… 49

4.4.3 مشتق در حالت کاپتو ……………………………..…………… 50

4 حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولتری غیر خطی واز مرتبه کسری با استفاده ازموجک چبیشف نوع دوم

1.4بیان مسئله ………………………………………………………… 53

2.4 ماتریس عملیاتی توابع بلاک- پالس برای محاسبه انتگرال …………………… 54

3.4 ماتریس عملیاتی موجک چبیشف نوع دوم ………..……………………… 57

4.4 ماتریس عملیاتی انتگرال از مرتبه کسری موجک چبیشف نوع دوم ……….…… 59

5.4 تشکیل دستگاه معادلات غیر خطی بوسیله ماتریس های عملیاتی ……………… 61

6.4 تجزیه وتحلیل خطا ……………………..………….……………… 67

1.6.4 تابع خطای روش ……………………………………………… 67

2.6.4 تقریبی از خطای مطلق ………………………..………………… 68

5 مثال ها و نتایج عددی

1.5 مثال های عددی …………………………………………………… 70

2.5 نتیجه گیری …………………..…………………………………… 76

کتاب نامه …………………………………………….…………………… 77

لیست جداول

1.5 مقایسه بین جواب واقعی و جواب در نقاط مختلف …………….……………… 74

2.5 محاسبه نرم -2 خطای مطلق ……………………………………………… 74

لیست تصاویر

1.2 زیر فضا های ………………….………………………………… 21

2.2 تابع مقیاس موجک هار …………………..……………………………… 24

3.2 تابع تظزیف موجک مادر ………………………………………………… 24

4.2 اولین نسل از دختران ………………………….………………………… 24

5.2 تابع مقیاس موجک کلاه ……………………………………….………… 25

6.2 موجک کلاه …………………………………………………………… 25

7.2 نمودار تقریب تابع ………………………………….………… 27

8.2 تقریب تابع …………………………….…………………… 27

9.2 موجک چبیشف ……………………………….………………… 33

10.2 موجک چبیشف ………………………………….……………… 34

11.2 موجک چبیشف ………………………………………………… 34

12.2 توابع بلاک- پالس به ازای ………………………………………… 39

13.2 تقریب تابع به کمک توابع بلاک-پالس …………………………… 42

1.5 جواب واقعی و تقریب آن ………….……………………… 75

چکیده

حساب کسری، تعمیم مشتق وانتگرال از مرتبه غیر صحیح است که بطور گسترده در مسائل مهندسی و مدل های علمی مورد استفاده قرار گرفته است. در این پژوهش ما به توصیف مشتق از مرتبه کسری در حالت کاپوتو ، به منظور ارائه ماتریس عملیاتی انتگرال از مرتبه کسری موجک های چبیشف نوع دوم پرداخته ایم و سپس با استفاده از روشی که بر اساس ماتریس عملیاتی موجک چبیشف نوع دوم است به حل عددی معادلات انتگرال – دیفرانسیل غیر خطی و از مرتبه کسری ولترا پرداخته ایم .

هدف اصلی این پژوهش این بوده که معادله انتگرال – دیفرانسیل را به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل کند تا به سادگی حل گردند و نتایج عددی بدست آمده نشان می دهد که روش عددی انتخاب شده دقت لازم برای این منظور را داراست.

Abstract

Fractional calculus is an extension of derivatives and integrals to non-integer orders and has been widely used to model scientific and engineering problems. In this paper, we describe the fractional derivative in the Caputo sense and give the second Chebyshev wavelet (SCW) operational matrix of fractional integration. Then based on above results we propose the SCW operational matrix method to solve a kind of nonlinear fractional-order Volterra integro-differential equations. The main characteristic of this approach is that it reduces the integro-differential equations into a nonlinear system of algebraic equations.

Thus, it can simplify the problem of fractional order equation solving. The obtained numerical results indicate that the proposed method is efficient and accurate for this kind equations.