• ……………………………………………………………………………………21

• ماتریس آهنگ ها (نرخ های )انتقال…………………………………………………………………22

• احتمالات انتقال و زمانهای توقف (کوتاه) ………………………………………………………..23

• ماتریس احتمال انتقال …………………………………………………………………………………..26

• میانگین زمانهای اقامت در حالتهای مختلف ………………………………………………………26

• مدت زمان لازم تا خراب شدن سیستم………………………………………………………………27

• تحلیل موجودیت ………………………………………………………………………………………..33

• تحلیل دوره مشغولیت …………………………………………………………………………………..36

• امید ریاضی تعداد تعمیرات ……………………………………………………………………………38

فصل چهارم : بررسی مدل دوم در حوزه قابلیت اعتماد 40

• شرح و بیان مدل دوم ……………………………………………………………………………………41

• ماتریس آهنگ ها (نرخ های ) انتقال ……………………………………………………………….43

• احتمالات انتقال و زمانهای توقف (کوتاه) ………………………………………………………..43

• ماتریس احتمال انتقال …………………………………………………………………………………..44

• میانگین زمانهای اقامت در حالتهای مختلف ………………………………………………………44

• مدت زمان لازم تا خراب شدن سیستم………………………………………………………………45

• تحلیل موجودیت ………………………………………………………………………………………..48

• تحلیل دوره مشغولیت …………………………………………………………………………………..51

• امید ریاضی تعداد تعمیرات ……………………………………………………………………………53

فصل پنجم : نمودارهای مقایسهای دو مدل تصادفی 55

واژنامۀ انگلیسی به فارسی ………………………………………………………………………..62

فهرست مراجع ………………………………………………………………………………..65

مفاهیم و مقدمات فرآیند های تصادفی

1-1 تعاریف

تعریف 1-1-1. مجموعه اندیس¹:مجموعه را فضای پارامتر یا مجموعه اندیس می گوییم.

مجموعه اندیسگذار میتواند چند بعدی باشد، به عنوان مثال امواج اقیانوسها، میتوان را طول و عرض جغرافیایی گرفت، و در این صورت، ارتفاع موج در موضع میباشد. [11]

مقادیر ممکن است یک بعدی، دو بعدی، یا بعدی و یا حتی کلیتر باشد.

تعریف 1-1-2. فرآیند تصادفی²:هر گاه یک مجموعه اندیسگذار وبرای هر ، یک متغیر تصادفی باشد، گردایهی را اصطلاحا یک فرایند تصادفی میگوییم. [11]

تعریف 1-1-3. فضای حالت³:مجموعه ، شامل کلیه مقادیر مختلفی که به ازای هر اختیار میکند، فضای حالت²فرآیند تصادفی می گوییم. [11]

تعریف 1-1-4. فرآیند گسسته⁴و فرآیند پیوسته⁵:در صورتیکهمجموعه ای شمارا باشد فرایند را گسسته و در غیر این صورت فرآیند را پیوسته می گوییم. [11]

به عبارت دیگر هرگاه ، آنگاه همواره میگوییم یک فرآیند تصادفی با زمان گسسته است. هرگاه ، یک فرآیند با زمان پیوسته است.

1- Index Set 2- Stochastic Process 3- State Space

4 – Discrete 5 -Continuous

تعریف 1-1-5. فرآیند با حالت گسسته، فرآیند با حالت پیوسته:اگر فضای حالت یک فرآیند شمارا باشد فرایند را با حالت گسسته و در غیر این صورت فرایند را با حالت پیوسته گوییم.[11]

در حالتی که ، فرآیند مربوطه را با مقدار صحیح یا یک فرآیند با وضعیت گسسته مینامیم. هرگاه خط حقیقی باشد، آنگاه را یک فرآیند تصادفی با مقدار حقیقی مینامیم. هرگاه یک فضای اقلیدسی بعدی باشد، آنگاه گوییم یک فرآیند برداری بعدی است.

مثال 1-1-1:برای یک فرآیند تصادفی که نمایانگر امتیازات در یک مسابقه فوتبال میباشد فضای پارامتر و فضای حالت را مشخص کنید. [13]

حل:فضای حالت در این فرآیند عبارت است از تعداد گل هایی که بین دو تیم رد و بدل میشود یا به عبارت دیگر:

اگر زمان را برحسب دقیقه اندازه بگیریم، فضای پارامتر عبارت است از . فرآیند در وضعیت شروع میشود و هر زمانی که گلی به ثمر برسد انتقالی بین حالتهای صورت میگیرد. به ثمر رسیدن یک گل، مقدار یا را به اندازهی یک واحد افزایش میدهد و لذا امتیاز به یا تغییر خواهد یافت.

مثال 1-1-2:کارخانهای دارای دو ماشین تراش است ولی هر روز یکی از آن ها مورد استفاده قرار میگیرد. احتمال ثابتی برای خراب شدن این ماشین تراش وجود دارد، و اگر خرابی ماشین پیش بیاید، این اتفاق در پایان روز رخ خواهد داد. یک تعمیرکار در این رابطه در استخدام کارخانه است. تعمیر هر ماشین دو روز به طول میانجامد. یک فرآیند تصادفی طرح کنید که عملکرد این کارخانه را توضیح دهد. [13]

حل:انتخاب متغیر تصادفی در این مسأله مهم است. مقدار این متغیر تنها در انتهای روز بررسی میشود زیرا کلیهی انتقالات در آخر روز صورت میگیرد. فضای پارامتر مجموعهی روزهای فعال هفته میباشد که سیستم در حال بهرهبرداری است. اگر اولین روز را 1 و دومین روز را 2 و به همین ترتیب بقیه روزها را شماره گذاری کنیم خواهیم داشت:

فرآیند تصادفی مناسب این کارخانه عبارت است از ، که نمایانگر تعداد روزهای لازم برای تعمیر ماشینها است و مقدار آن در پایان روز ثبت میشود. اگر هر دو ماشین قابل استفاده باشند صفر خواهد بود.

اگر یکی از ماشینها سالم و ماشین خراب یک روز تحت تعمیر باشد

اگر یک ماشین سالم و ماشین دوم اخیراً خراب شده باشد

اگر یک ماشین اخیراً خراب شده باشد و ماشین خراب دومی یک روز تحت تعمیر باشد

وضعیتهای ذکر شده موارد ممکنه هستند پس فضای وضعیت عبارت است از:

مثال 1-1-3 :فرآیند پیوسته با حالت پیوسته[9]:

مثال 1-1-4 :فرآیند پیوسته با حالت گسسته[9]:

مثال 1-1-5: فرآیند گسسته با حالت پیوسته [9]: