فصل دوم : استنباط کلاسیک و بیز درمورد مدل نیم نرمال

2-1 برتوزیع نرمال بریده ……………………………………………………………………………….. 15

2-1-1 میانگین و واریانس توزیع نرمال بریده …………………………………………………….. 15

2-2 متغیر تصادفی نیم نرمال (HN)…………………………………………………………………………. 19

2-2-1 میانگین و واریانس توزیع نیم نرمال …………………………………………………………. 19

2-3 استنباط کلاسیک مبنی بر برآوردگرهای حداکثر درستنمایی ………………………… 22

2-3-1 برآوردگرهای کلاسیک پارامترهای توزیع نیم نرمال ………………………………… 22

2-3-2 فاصله اطمینان کلاسیک برای پارامترهای توزیع نیم نرمال …………………….. 23

2-4 استنباط بیزدر مورد مدل نیم نرمال ………………………………………………………………….. 27

2-4-1 مقدمه ای بر استنباط بیز ………………………………………………………………………….. 27

2-4-2 توزیع پیشین و توزیع پسین برای مدل نیم نرمال ………………………………….. 28

2-4-3 برآورد نقطه ای و فاصله ای بیز برای پارامترهای مدل نیم نرمال ………………. 31

2-4-4 خانواده چگالی مزدوج ………………………………………………………………………………. 35

فصل سوم: استنباط کلاسیک و بیز در مدل نیمt

3-1 معرفی توزیع t بریده ………………………………………………………………………………………….. 38

3-2 توزیع نیمt ……………………………………………………………………………………………………………. 39

3-2-1 میانگین و واریانس توزیع نیم t استاندارد ……………………………………………… 40

3-3 استنباط کلاسیک توزیع نیم t بر اساس روش حداکثر درستنمایی ………………….. 42

3-3-1 برآورد میانگین توزیع نیم t ………………………………………………………………………. 42

3-3-2 برآورد واریانس توزیع نیم t ……………………………………………………………………… 43

3-4 استنباط بیزی در مورد توزیع نیم t …………………………………………………………………… 43

فصل چهارم : انتخاب مدل

4-1 بر روشهای انتخاب مدل ………………………………………………………………………… 48

4-2 فاکتور بیز برای توزیع پیشین آگاهی بخش ………………………………………………………. 48

4-3 فاکتور بیز برای توزیع پیشین ناآگاهی بخش …………………………………………………… 50

4-3-1: فاکتور بیز جزئی ……………………………………………………………………………………….. 51

4-4 الگوریتم چیب …………………………………………………………………………………………………….. 53

فصل پنجم : شبیه سازی و نتیجه گیری

5-1 مقایسه همزمان برآوردگرهای کلاسیک و بیز در مدل نیم نرمال …………………… 57

5-2 انتخاب مدل ……………………………………………………………………………………………………….. 62

5-2-1 مدل نیم نرمال ………………………………………………………………………………………… 62

5-5-2 مدل نیم t …………………………………………………………………………………………………..64

5-3 نتیجه گیری …………………………………………………………………………………………………………. 67

منابع ………………………………………………………………………………………………………………………………………. 68

پیوست ……………………………………………………………………………………………………………………………………. 71

چکیده و صفحه عنوان انگلیسی

فهرست جداول

عنوان صفحه

جدول 1.5برآورد اریبی و از برآوردگر حداکثر درستنمایی،حداکثر درستنمایی

تصحیح شده اریبی و میانگین توزیع پسین برای پارامتر …………………………… 58

جدول 2.5 برآورد احتمال پوشش و پهنای فاصله اطمینان 95% فواصل کلاسیک و بیز،

، برای پارامتر …………………………………………………………………………………….. 59

جدول 3.5 برآورد اریبی و ، از حداکثر درستنمایی، حداکثر درستنمایی تصحیح

شده اریبی، میانگین توزیع پسین و مد توزیع پسین برای پارامتر ……………… 60

جدول 4.5 برآورد احتمال پوشش و پهنای فاصله اطمینان 95% فواصل کلاسیک قابل

قبول بیز و فاصله بیز، ، برای پارامتر ……………………………………………….. 61

فهرست شکل ها

عنوان صفحه

شکل 1.2نمودار تابع چگالی توزیع نیم نرمال استاندارد و توزیع نرمال استاندارد …………….20

شکل 2.2ناحیه اطمینان 95% توام …………………………………………………………………….. 26

شکل 1.5ناحیه اطمینان کلاسیک 95% و ناحیه اطمینان قابل قبول بیز …………..63

شکل 2.5هیستوگرام فراوانی نسبی همراه با تابع چگالی وتوزیع

پیش بین بیز ……………………………………………………………………………………………………… 64

شکل 3.5هیستوگرام فراونی نسبی مقادیر ، همراه با برآورد چگالی پسین …………………. 65

شکل 4.5تابع توزیع تجربی میزان چربی بدن 102 ورزشکار توام با تابع توزیع پیش

بین نیم t ……………………………………………………………………………………………………………66

فصل اول

مقدمه و مفاهیم پایه

1-1 مقدمه

توزیع نرمال یکی از مهمترین توزیع های احتمالی پیوسته در نظریه احتمال است. علت نام گذاری و همچنین اهمیت این توزیع، هم خوانی بسیاری از مقادیر حاصل از نوسان های طبیعی و فیزیکی پیرامون یک مقدار ثابت با مقادیر حاصل از این توزیع است. همچنین نقش این توزیع در قضیه حد مرکزیدلیل دیگری بر اهمیت توزیع نرمال می باشد. به زبان ساده، در قضیه حد مرکزی نشان داده می شود که تحت شرایطی، مجموع مقادیر حاصل از متغیرهای مختلف که هرکدام میانگین و پراکندگی متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال است. این قانون بیان کننده آن است که برآیند نوسان های مختلف تعداد زیادی از متغیرهای ناشناخته، در طبیعت به صورت توزیع نرمال آشکار شود. به عنوان مثال، با اینکه عوامل زیادی بر میزان خطای اندازه گیری یک کمیت اثر می گذارند. (مانند خطای دید، خطای وسیله اندازه گیری، شرایط محیط و …) اما با اندازه گیری های متعدد، برآیند این خطاها همواره دارای توزیع نرمال است که حول مقدار ثابتی پراکنده شده است. مثال های دیگری از این نوسان های طبیعی، طول قد، وزن یا بهره هوشی افراد است.

این توزیع گاهی به دلیل استفاده کارل فردریک گاوس[1] (1777- 1855) با نام توزیع گوسی (گاوسی) استفاده می شود، همچنین به دلیل شکل تابع چگالی آن به توزیع زنگوله ای (زنگدیس) نیز معروف است. با وجود سودمند بودن توزیع نرمال، مقادیر متغیر تصادفی در تئوری این توزیع روی مجموعه اعداد حقیقی تغییر می کند. حال آنکه در بسیاری از مطالعات آماری که داده ها تمایل به پیروی از توزیع نرمال دارند، دامنه تغییرات آنها تمام مجموعه اعداد حقیقی را در بر نمی گیرد. پس استفاده از توزیع نرمال در بررسی این داده ها، باعث بوجود آمدن خطای محاسباتی معنی داری می شود. بنابراین توزیع نرمال با تکیه گاه قسمتی از مجموعه اعداد حقیقی، انگیزه ای برای تحقیق در مورد توزیع نرمال بریده را بوجود می آورد. توزیع نیم نرمال حالت خاصی از توزیع نرمال بریده می باشد که نقاط بریدگی در صفر و بی نهایت اتفاق می افتد. آزالینی[2] (1985) ثابت کرد، توزیع نیم نرمال می تواند حد توزیع نرمال اریب باشد.

هنگام تعیین تقریبی میانگین نمونه های برداشته شده از یک متغیر تصادفی، توزیع تی استودنت مطرح می شود. این توزیع اساس آزمونی به نام “آزمون تی” است که تفاوت میانگین جامعه را از روی نمونه هایشان بررسی می کند.

آزالینی و کاپیتانیو[3] (2003) ، جونز و فدی[4] (2003)، ثابت کردند، که توزیع نیم t می تواند حد توزیع t اریب باشد استنباط بیز برای توزیع نرمال اریب توسط لیزو[5] (2004) انجام گرفت.

در این فصل در بخش اول به تعریف توزیع های مهم بکار رفته در پایان نامه می پردازیم و سپس در بخش دوم پس از تعریف توزیع پیشین و توزیع پسین، توزیع های پیشین آگاهی بخش و توزیع پیشین غیر آگاهی بخش را معرفی نموده و توزیع جفریز را توضیح می دهیم. در بخش سوم به معرفی الگوریتم متروپلیس – هستینگز می پردازیم و درانتها به چکیده ای از کارهایی که در این پایان نامه صورت گرفته است اشاره می کنیم.

1-2 برخی از توزیع های مهم آماری

در این بخش بعضی از توزیع های آماری مهم که در این رساله مورد استفاده قرار می گیرد را معرفی می کنیم.

1-2-1 توزیع نرمال

یکی از مهمترین توزیع های آماری توزیع نرمال است. تابع چگالی توزیع نرمال با پارامترهای و به صورت زیر است:

توزیع نرمال دارای ویژگی های زیر است:

• تابع چگالی نرمال تابعی متقارن حول است. همچنین میانگین، نما و میانه توزیع است.

• نقاط عطف این منحنی، و است.

• این تابع بینهایت بار مشتق پذیر است.

• میانگین و واریانس این توزیع به ترتیب برابر با و می باشد.

1-2-2 توزیع تیاستودنت

فرض کنید که متغیرهای تصادفی مستقل و هم توزیع با نرمال با میانگین و واریانس هستند .اگر میانگین این متغیرهای تصادفی و واریانس آنها را نشان دهد آنگاه متغیر تصادفی

دارای توزیع t با n-1 درجه آزادی است.

تابع چگالی متغیر تصادفی T با درجه آزادی به صورت زیر نوشته می شود

که در آن Γ همان تابع گاما است.

میانگین این توزیع برای درجه آزادی بزرگتر از یک برابر با صفر و واریانس توزیع برای درجه آزادی بزرگتر از دو برابر با می باشد.

1-2-3 توزیع نرمال گامای از راست بریده

 

بردار تصادفی دارای توزیع نرمال گامای از راست بریده در نقطه است و نوشته می شود

هر گاه تابع چگالی توزیع به صورت زیر باشد،

1-2-4 توزیع گوسین گامای تعدیل یافته

متغیر تصادفی Wدارای توزیع گوسین گامای تعدیل شده گفته است و آن را با نماد،

نشان می دهند. هرگاه:

1-2-5توزیع پیشین و توزیع پسین

 

اگر پارمتر توزیع متغیربه عنوان یک متغیر تصادفی در نظر گرفته شود و تابع چگالی آن با ، نمایش داده شود، را چگالی پیشین می نامند. فضای پارامتر در حکم تکیه گاه می باشد و براساس تعبیر شخصی تعیین می شود.

نمونه تصادفی را در نظر بگیرید این نمونه یا آماره را به کار می بریم تا اطلاعات بیشتری درباره به دست آوریم. به این منظورتابع چگالی شرطی را به شرط داشتن یا پیدا می کنیم و تابع چگالی شرطی را با نشان می دهیم. را تابع چگالی پسین می نامیم.

1-2-6 توابعچگالی پیشین آگاهی بخش و نا آگاهی بخش