در سراسر این پایان­نامه حلقه­ها شرکت­پذیر و یکدار می­باشند. (تمام مدول­ها مدول راست می باشند.) درابتدا یادآوری، سپس تعاریف اولیه و بعد قضایای مقدماتی به صورت نکته و لم بیان می­شود.

یادآوری

فرض­کنید R یک حلقه باشد.R – مدول M را ساده گویند اگر زیرمدول غیربدیهی نداشته باشد. مدول M نیم­ساده نامیده ­می­شود اگر هر زیرمدولش یک جمعوند آن باشد.

زیرمدول L از M اساسی ­نامیده ­می­شود و می­نویسیم ­Lv_essM هرگاه به ­ازای هر N £ M اگر L ∩ N = 0 ، آنگاه =0 N . به­طور معادل L v_essM اگر و تنها اگر به ­ازای­ هر عنصر ناصفر xÎM ، rÎR موجود باشد به­طوری­که 0 ¹ xrÎ L .

زیرمدول K از M زاید ­نامیده­ می­شود و می­نویسیم K<< M ، ­هرگاه به ­ازای هر N £ M اگرK + N = M آنگاه = M N.

فرض کنید M یک R- مدول راست باشد، X زیرمجموعه­ای از M و Y هم زیرمجموعه­ای از R ، پوچساز راست X در R با r_R(X) و پوچسازچپ Y در M با l_M(Y) نمایش داده­ می­شود و تعریف می­کنیم :

r_R(X) = { r Î R : X r = 0 } l_M(Y) ={ m Î M : mY = 0 }

همچنین برای S- مدول چپ N ، r_N(Z) وl_S(W) به­طور مشابه برای هر Z Í S و هر

W Í N به صورت زیر تعریف می­شود :

r_N(Z) ={ n Î N : Z n = 0 } l_S(W) = { s Î S : sW = 0 }

اگر X = {a}، آنگاه پوچساز راست آن با r_R(a ) نشان داده­ می­شود و داریم :

r_R(a)= r_R(X) و نیز l_R(a)= l_R(X).

با استفاده از قضیه 2-15 از مرجع [1] نتایج زیر را داریم :

اگر A و B دو زیرمجموعه R – مدول راست M باشند و AÍ B آنگاه r_R(B) Í r_R(A) . بوضوح Í l_M(r_R(A)) A و می­توان نتیجه گرفت (A))) Í r_R(A) r_R(l_M(r_R. از سوی دیگر با قرار دادن C= r_R(A)درC Í l_M(r_R©) (به­ازای هرC Í R) داریم :

r_R(A) Í r_R(l_M(r_R(A)))پس (A))) Í r_R(A) r_R(l_M(r_R؛

در نتیجه(A))) = r_R(A) r_R(l_M(r_R.

به طریق مشابه اگر I و J دو زیرمجموعه R باشند و I Í J ، آنگاه l_M(J) Í l_M(I) . بوضوح

I Í r_R(l_M(I)) و می­توان نتیجه گرفت : l_M(r_R(l_M(I)))=l_M(I) .

اگرM یک R -مدول و U یک کلاس از R – مدول­ها باشدTr (M ,U ) و Rej (M, U ) به­ صورت زیر تعریف می­شوند که زیرمدول­هایی از M می­باشند.

Tr (M ,U )=å { Im f | f : u_a→ M , u_aÎ U برای برخی }

Rej (M, U )=∩ {ker f | f : M → u_a , u_aÎU برای برخی }

اگر S مجموعه تمام R – مدول­های راست ساده باشد، به ­ازای هر R – مدول M،Soc (M_R) بزرگترین زیرمدول نیم­ساده M است و با توجه به بخش 9 از مرجع [1] به صورت زیر تعریف می­شود :

Soc(M_R) = Tr (M ,S) = å {K | است M یک زیرمدول ساده از K }

= ∩ { L | L v_essM }.

همچنین R – مدول M نیم­ساده است اگر و تنها اگر soc(M_R) = M_R.

ضمناً به سادگی دیده­ می­شود R – مدول M نیم­ساده است اگر و تنها اگر زیرمدول اساسی غیر بدیهی نداشته ­باشد.

R – مدول M پروژکتیو نامیده ­می­­شود هرگاه به ­ازای هر نمودار از R- همریختی­ها و R- مدول­ها به صورت زیرکه سطر آن دقیق باشد ، R- همر­یختی→ A M موجود باشد به­طوری­که نمودار زیر جابجایی باشد.

1-2-1. R – مدول پروژکتیو M

یا به­طور معادل اگر هر دنباله دقیق کوتاه به صورت A→ B→ M → 0 0 → شکافته شود ، آنگاه M پروژکتیو است.

R – مدول M انژکتیو نامیده­ می­­شود هرگاه به­ ازای هر نمودار از R- همریختی­ها و R- مدول­ها به صورت زیرکه سطر آن دقیق باشد، R – همر­یختی→ M B موجود باشد به­طوری­که نمودار جابجایی باشد.

1-2-2. R – مدول انژکتیو M

همچنین R – مدول M انژکتیو است هرگاه به ازای هرایده­آل راست I از R ، هر همریختی

f : I→ M را بتوان از R به M گسترش داد. (لم بئر)

1-2-3. R – مدول انژکتیوM (لم بئر)

تعاریف و قضایای زیر برای حلقه­ها و مدول­های راست بیان می­شود و به­طور مشابه برای مدول­های چپ نیز برقرار است.

تعریف 1-2-1. حلقه R، خود- انژکتیو راست نامیده­ می­شود، هرگاه R_Rانژکتیو باشد.

تعریف 1-2-2.حلقه R، حلقه انژکتیو اصلی راست یا به ­اختصار P- انژکتیو راست نامیده­ می­شود، هرگاه به ­ازای هر aÎR هر R – همریختی f :aR→ R_Rرا بتوان به R– همریختی

:R_R→ R_R گسترش داد .

تعریف1-2-3. مجموعه عناصر منفرد R- مدول راست M را با Z(M_R) نشان می­دهیم و تعریف می­کنیم :

Z(M_R) = {mÎM | r_R(m) v_essR_R } £ M .

تعریف1-2-4. R – مدولM، نامنفرد نامیده ­می­شود هرگاه Z(M_R) = 0 و نیز منفرد نامیده می­شود هرگاه Z(M_R) = M .

تعریف1-2-5. زیرمدول N ازR – مدول M ، کاملاً پایا نامیده ­می­شود هرگاه به ­ازای­ هر

ÎEnd (M_R) f داشته­ باشیم f(N) Í N .

تعریف1-2-6. یک حلقه را حلقه دو راست(right duo)گویند، هرگاه هر ایده­آل راست آن

دو طرفه باشد. به­طور مشابه حلقه دو چپ تعریف ­می­شود.